Понятие функции сложные и обратные функции

Пусть функция строго монотонная возрастающая или убывающая и непрерывная на области определения, область значений этой функции, тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений, которая является обратной. Доказательство Проведем все рассуждения для возрастающей функции, ибо для убывающей функции они проводятся аналогично. Так как возрастает и непрерывна на сегменте то силу необходимости теоремы 4 4 множеством всех значений этой функции является сегмент Но тогда теорема 4 3 обеспечивает существование на этом сегменте возрастающей обратной функции Остается доказать непрерывность указанной обратной функции на сегменте Для этого достаточно учесть, что множеством всех значений обратной функции служит сегмент где и использовать для этой обратной функции достаточность теоремы 4 4 Доказательство теоремы 4 5 завершено. Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R Если каждому элементу из D сопоставляется по какому либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция Эта функция записывается виде y f x x D или x f x x D Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при котором одному элементу из множества D ставится соответствие только один элемент из множества Е Подмножество D или D f называется областью определения существования функции у f, подмножество Е или Е f множеством ее значений Переменная называют независимой переменной или аргументом, переменная y зависимой переменной, а соответствие такого рода между ними функциональной зависимостью Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений числовые множества, D f R и E f R Пример 1 Каждому значению R радиуса шара соответствует одно определенное значение объема шара Следовательно, объем шара является функцией радиуса шара Областью определения этой функции является множество D 0, отрицательные значения R исключаются, поскольку радиус не может быть отрицательным Таким образом, V f. Аналитическое задание функции Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл Замечание Областью определения функций f x g x, f x g x f x g x является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена тех точках, где знаменатель обращается ноль g 0 Замечание Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана Например, функции y x 2 x, и y x 2 x 2, 4 выраженные одной и той же формулой у 2 различны, так как имеют разные области определения Функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения Пусть, например рис 5 1 Две функции равны только том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых допустимых значениях аргумента По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность Графический и табличный способы задания функции Графиком числовой функции у f называется множество точек плоскости с координатами f, абсциссы которых числа из области определения функции, а ординаты соответствующие значения функции, Г x y x D y f Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически График функции дает наглядное представление о свойствах функции Задать функцию графически это значит построить ее график 3амечание Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции Линия только том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем одной точке Пример 2 Линия, заданная уравнением y 2 2 x не является графиком функции, постольку прямая, параллельная оси Oy, пересекает его двух точках при всех значениях кроме 0 Заданное уравнение эквивалентно двум уравнением, каждое из которых определяет функцию рис 5 2 y 2 x Верхний знак соответствует верхнейполовине параболы, нижний знак соответствует нижней половине параболы Обе функции определены при x 0, При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции Таблицы могут составляться также по значениям и у, полученным из опыта или наблюдения Для построения графика по аналитическому выражению функции простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции Недостатком табличного способа задания функции является то, что таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены. Функция называется возрастающей на отрезке а b, принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции x 2 x 1 f x 2 f x 1 1 x 2 a b Функция называется убывающей на отрезке a b, если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции x 2 x 1 f x 2 f x 1 1 x 2 a b Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями Участки возрастания функции на рисунке отмечены синим цветом чёрно белом варианте более толстым форматом Участки убывания отмечены красным цветом чёрно белом варианте более тонким форматом, рис. Функция f x x график которой изображен на рис 5 14 определена и непрерывна во всех табличках числовой прямой Действительно, точках полупрямой 0 функция f x x непрерывна В точках полупрямой 0 функция f x x также непрерывна Чтобы установить непрерывность функции точке x 0 вычислим односторонние пределы функции этой точке Пределы функции точке 0 слева и справа совпадают и равны значению функции этой точке Отсюда следует, что функция непрерывна точке 0 и, следовательно, непрерывна во всех точках числовой прямой. Точка 0 называется точкой разрыва функции f x, если f x точке 0 не является непрерывной Это значит, что или не существует предела функции данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает этой точке Точка 0 называется точкой разрыва первого рода функции f x, если этой точке функция f x имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы Точка 0 называется точкой разрыва второго рода функции f x, если этой точке функция f x не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен Так для функции точке 0 односторонние пределы равны, то 0 является точкой разрыва второго рода рис.

Если функция f x определена и непрерывна замкнутом промежутке a b, то она на этом промежутке ограничена Доказательство Функция f ограничена на промежутке а b, если существуют такие конечные числа m и M, что m f М при a x b Допустим, что функция f при изменении промежутке а b оказывается неограниченной В таком случае для каждого натурального числа n найдётся промежутке а b такое значение х n что f x n n Однако по лемме Больцано Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности x n можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность Причем, очевидно, 0 a b Вследствие непрерывности функции точке 0 должно быть выполнено Однако, силу f x n n имеем Полученное противоречие и доказывает теорему. Непрерывная на отрезке a b функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани рис 5 19 Доказательство Пусть f x C a b функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке a b и пусть Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка n а b, что, Из последовательности x n а b можно выделить сходящуюся к некоторому значению 0 подпоследовательность В силу непрерывности функции имеем далее В то же время И пределе f x 0 M Но f x 0 не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f x 0 М Что и требовалось доказать. Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями. Может ли непрерывная на интервале функция быть ограниченной на замкнутом интервале. Пример 2 у сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку у f z z z. В Сравнение вещественных чисел Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений а b а равно b, а b а больше b или.

Исследование функций и построение графиков Признак монотонности функции Одной из существенных характеристик функции являет ся ее поведение на отдельных интервалах возрастание или убывание. Однородные уравнения второго порядка Рассмотрим линейное однородное уравнение где и q вещес. Модель естественного роста выпуска Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р Обозначим через Q t количество про дукции, реализованной на момент времени t тогда. Базис и ранг системы векторов Рассмотрим систему векторов Максимально независимой подсистемой этой системы. Разложение вектора ортогональном базисе Рассмотрим базис пространства Rn, котором каждый век тор ортогонален остальным векторам базиса.

Матричная форма системы уравнений Сведем коэффициенты при неизвестных системе уравне ний 15 1 матрицу. Характеристическое уравнение В 13 1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы Пусть собственный вектор. Виды случайных событий Выше было введено определение случайного события Обычно теории вероятностей вместо совокупности условий употребляют термин испытание, и тогда событие трак. Противоположные события Определение 2 Два единственно возможных события, обра зующих полную группу, называются противоположными Если событие обозначено через А, то противоположное. Появление только одного из независимых событий Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло жения и умножения Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления. Плотность распределения вероятностей и ее свойства Определение 3 Производная от функции распределения не прерывной случайной величины Х называется плотностью рас пределения вероятностей. Асимметрия и эксцесс В прикладных задачах, например математической ста тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре делений, отличающихся от нормального распределения, воз никает. Статистическое распределение выборки Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ ема, которой значение x1 некоторого исследуемого призна ка Х наблюдалось. Полигон и гистограмма Каждую пару значений xi, ni из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости Точ но так же можно рассматривать.

Статистические оценки параметров распределения Значения количественного признака х1, х2 хk выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. Экономический анализ задач с использованием графического метода Проведем экономический анализ рассмотренной выше за дачи по производству мороженого Математическая модель задачи имеет. Алгоритм симплексного метода 1 Математическая модель задачи должна быть канонической Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду 2 Находим исходное опорное решение и проверяем. Решение двойственных задач Решение симметричных задач Рассмотрим решение задач с использованием теорем двой ственности. Общая постановка задачи Транспортная задача одна из распространенных задач линейного программирования Ее цель разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации Рассмотрим следующую задачу Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья Нормы расхода сырья. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков Рассмотрим следующую задачу На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обра ботке деталей Известна производ.

Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден ед и 3 ден ед соответственно По результатам маркетинговых ис следований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс ед. Общая постановка задачи Предприятия, фирмы имеют различные запасы сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначен ную для продажи, и Совокупность подобных материалов, представляющих. Модель запасов, включающая штрафы Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную по ставку. Задачи на случайные события 1 1 Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами Найти число способов обмена, если первый нумизмат обмени вает 5 монет, а второй 8 монет. Билет 8 Обратная функция Критерий обратимости функции Сложная функция. Обратная функция Обра тная фу нкция функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Сложная функция Сложная функция функция от функции Если z функция от у z y, а у свою очередь, функция от у, то функция f x z y x называется сложной функцией или композицией или суперпозицией функций. Графиком функции y f x называют геометрическое место точек M x f x, где x D f и. Определение 2 Пусть задана функция y f x взаимно однозначно отображающая множество X D f на множество. Термин функция появился одной из рукописей Готфрида Вильгельма Лейбница 1673 году Однако, он употреблял этот термин очень узком смысле Речь шла об отрезках касательных к кривым, об их проекциях на оси координат и о другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию.

Графиком функции y f x называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Пример 1 функция E x целая часть числа x Вообще через E x x обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x Иными словами, если x r q, где r целое число может быть и отрицательным и q принадлежит интервалу 0 1, то x r Функция E x x постоянна на промежутке r r 1 и на нем. Очевидно, что согласно определению мы имеем тождество, то есть композиция это тождественное отображение, для любого. Последнее утверждение означает, что функция, обратная к, равна, то есть что функции и это две взаимно обратные функции. Если ограничение функции на отрезок это ограничение называется главной ветвью синуса, то отображение биекция. Рассмотрим функцию, определённую на некотором множестве, которое имеет предельную точку которая, свою очередь, не обязана ему принадлежать.

Бесконечно большая величина числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Если, то β бесконечно малая высшего порядка малости чем α Обозначают. Это обозначается как β O α или α O β силу симметричности данного отношения. Если предел конечен и не равен 0, то бесконечно малая величина β имеет m порядок малости относительно бесконечно малой. С использованием О символики полученные результаты могут быть записаны следующем виде. Понятие обратной функции Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов приближенных вычислениях Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций. Постоянная величина это величина, сохраняющая одно и то же значение Если величина сохраняет постоянное значение лишь условиях данного процесса, то она называется параметром. Пусть функция определенная на множестве Х такова, что любым двум различным значениям аргумента ставит соответствие различные значения у то есть, если то Эта функция устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения.

Для нахождения обратной функции необходимо из равенства выразить через у и полученном выражении букву заменить буквой у букву у буквой. Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными. Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве Другими словами, если функция ограничена на множестве Х то существуют такие числа m и М что для всех Условие ограниченности можно также записать виде для некоторого положительного числа. Сложный составной, сложенный или составленный из разных частей Толковый словарь В И Даля. К этому времени учащимся будет и легче воспринимать само понятие функции как соответствие между множествами. Несмотря на весь абстрактный характер понятия функция с ним нужно разобраться, постепенно вводя логические уточнения и учитывая возможности класса А сложную функцию нужно изучать как композицию двух функций Это понятие важно для определения взаимно обратных функций В связи с этим сильных классах данный материал целесообразно вводить до того, как изучаются обратные функции например, обратные тригонометрические функции Для классов со слабой подготовкой, где обратные тригонометрические функции вводятся на более простом уровне, разговор о сложной функции пойдет теме Производная Но и этом случае должно быть подробное рассмотрение определения этой функции. При построении графиков сложных функций презентации для большей наглядности используются анимационные эффекты, дающие представление о последовательных шагах, которыми характеризуется композиция нескольких соответствий. После того, как два вспомогательных графика построены, переходим к главной задаче построению графика сложной функции.

Значит, для функции при увеличении аргумента от 2 до бесконечности получаем возрастание функции от 0 до бесконечности И то, что мы выделили этот участок монотонности, уже очень важно Можно хотя бы схематично изобразить график при. Но можно и другим способом получить ту же линию при 2 рассмотреть изменение от минус бесконечности до 2, тогда переменная t изменяется от до 0, а переменная у при этом изменяется от до 0 Значит, при изменении аргумента от до 2 значения сложной функции убывают это мы и видим на графике Данные рассуждения можно провести устно, но они хорошо иллюстрируются изображениями на слайдах. Рассматриваем участки изменения для переменной от 0 до π 4 от π 4 до π 2 от π 2 до 3π 4 от 3π 4. И сразу, без теоретической подготовки, предлагать ученикам только готовые графики преждевременно С другой стороны, чисто формальные рассуждения, без графических иллюстраций затрудняют восприятие Поэтому при изучении данного раздела нужно как можно больше наглядности и поэтапного погружения материал. Изображаем график внешней функции, выделяя соответствующий участок на гиперболе И тогда легко видеть, что значения у находятся на промежутке 0, 25. Работа учителя математики посвящена тому, чтобы не только облегчить ученикам восприятие трудного материала, но и дать им возможность почувствовать ту упорядоченность и красоту, которая всегда встречается математике. Колмогоров А Н и др Алгебра и начала анализа 1011 класс М Просвещение Функция Область ее определения Сложные и обратные функции График функции Основные элементарные функции, их свойства и графики Комплексные числа и действия над ними Изображение комплексных чисел на плоскости Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа Показательная форма комплексного числа Формула Эйлера Корни из комплексных чисел. Исследование выпуклости функции Точки перегиба Асимптоты функций Понятие об асимптотическом разложении Общая схема исследования функции и построения ее графика. Неопределенный интеграл и его свойства Табличные интегралы Замена переменной и интегрирование по частям неопределенном интеграле.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Дифференциальные уравнения первого порядка Основные классы уравнений, интегрируемых квадратурах. Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её приложений С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира. Решение Между элементами множеств A и В устанавливается следующее соответствие. Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества A соответствует не более одного элемента из множества. Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какойто ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какойто узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль. Решение Оба слагаемых выражении функции степенные функции с положительными дробными показателями степеней Следовательно, область определения данной функции множество. Область определения функции y sin x множество R действительных чисел. Область определения функции y tg x множество R действительных чисел, кроме чисел. Таким образом, получаем область определения данной функции отрезок.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо икса, знаменатель никогда не будет равен нулю. Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой прямой При x 0 значения этой функции определяются по первой формуле, а при x 0 по второй. Графиком числовой функции y f x называется множество точек плоскости с координатами x f x абсциссы которых числа из области определения функции, а ординаты соответствующие значения функции. Область определения сложной функции это множество тех значений x из X для которых соответствующие значения u принадлежат области определения U функции y f u Ни для каких других значений x сложная функция не имеет смысла. Если функция y задана уравнением вида f x y 0 не разрешённым относительно y то она называется неявной функцией аргумента x Что такое разрешить уравнение относительно одной из переменных примере. Функция одно из основных математических и общенаучных понятий Оно сыграло и поныне играет большую роль познании реального мира. На практике часто используется табличный способ задания функции При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся таблице значений аргумента Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов. Пусть n произвольное четное число, большее двух 4, 6, 8 В этом случае функция y x n обладает теми же свойствами, что и функция y x 2 График функции напоминает параболу y x 2 только ветви графика при 1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при 1 тем теснее прижимаются к оси Х, чем больше. Возьмем, к примеру, функцию y x 4 Подставим аргумент функцию y x 2 Получается y x 2 x 2 4 x 6 Это и будет являться сложной функцией. Одним из основных понятий современной математики является понятие множества Оно принадлежит к числу первичных не определяемых через более простые понятия Дадим описательное понятие множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а их элементы строчными буквами. Объединением двух множеств и называют третье множество С составленное из элементов множества с добавлением элементов множества В не входящих Объединение обозначают так рис. Числовые промежутки Множество X элементы которого удовлетворяют неравенству, называется отрезком сегментом и обозначается неравенству интервалом неравенствам или называются полуинтервалами и обозначаются соответственно. Для обозначения нижеследующих промежутков используется символ обозначается записывается так и обозначается соответственно и Вся числовая ось записывается. Если величина сохраняет постоянное значение лишь условиях данного явления процесса, то этом случае она называется параметром.

Так, например, функция см рис 1 7 при I 0 убывает и при I 0 возрастает см рис. Например, графиком функции у 1х 2 является верхняя полуокружность радиуса R 1 с центром О 0 0 см рис. Чтобы задать функцию у, необходимо указать правило, позволяющее, зная, находить соответствующее значение. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной относительно начала координат. Например, функция, заданная графиком см рис 100, убывает на интервале 2 1, не убывает на интервале 1 5, возрастает на интервале. Такая функция у называется обратной к функции и записывается следующем виде j y f 1 y Про функции у и у говорят, что они являются взаимно обратными Чтобы найти функцию у, обратную к функции у, достаточно решить уравнение у относительно если это возможно. Пусть функция у u определена на множестве D, а функция u на множестве D 1 причем для x D 1 соответствующее значение u є D Тогда на множестве D 1 определена функция u, которая называется сложной функцией от или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Переменную u принято называть промежуточным аргументом отличие от независимой переменной. Если величина сохраняет постоянное значение лишь условиях данного процесса, она называется параметром. При этом называется независимой переменной или аргументом, зависимой переменной а буква обозначает закон соответствия. Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной множество таких значений при которых функция вообще имеет смысл. Сложная функция, функция от функции Если величина y является функцией от u, то есть у f u, а и, свою очередь, функцией от, то есть u j, то у является С от, то есть y f x, определённой для тех значений, для которых значения j входят множество определения функции f u В таком случае говорят, что у является С независимого аргумента, а u промежуточным аргументом Например, если у u2, u sinx, то у sin2х для всех значений Если же, например, у, u sinx, то у причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С у как функция определена только для таких значений, для которых sin і 0, то есть для где k 0, 1, 2 Производная С равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу Это правило цепное правило распространяется на С с двумя, тремя и промежуточными аргументами если у f u1, u1 j u2 uk1 jk1 uk, uk jk x. Определение Функция называется бесконечно большой при, если ее предел равен бесконечности.

Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций По условию и, следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции, где и бесконечно малые величины при Перемножая почленно оба равенства, получим. Пусть дана функция у f x Она имеет обратную, если из зависимости у f x можно переменную однозначно выразить через переменную у Выразив через у, мы получим равенство вида g y В этой записи g обозначает функцию, обратную. Пусть даны две функции z f y и у g x Сложной функцией или композицией функций f и g называется функция z h x, значения которой вычисляются по правилу h x f g x сначала вычисляется g x, при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение точке. Скалярное произведение векторов и это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос ти, абсциссы которых равны значениям аргу мента, а ординаты соответствующим значениям функции. Этот способ состоит том, что функциональная зависимость выражается словами. Функции, заданные с помощью суперпозиций рациональных функций, степенных с рациональными показателями и четырех арифметических действий, называются алгебраическими Скачать файл 3511. Отсюда следует, что число n четное, n 2l Но тогда дробь m n 2k 2l сократима Это противоречит допущению, что m n дробь несократима Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу. Свойство непрерывности позволяет установить взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная единственная точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное единственное действительное число Поэтому вместо слова число часто говорят точка.

Тема 4 Использование финансовых вычислений инвестиционной деятельности. Использование сложного процента при анализе процессов накопления и дисконтирования привело к выделению теории и практике шести функций сложного процента, соответствующих различным схемам денежных поступлений по времени и размеру. Обратные функции текущая стоимость будущей денежной единицы, взнос за амортизацию, фактор фонда возмещения. Отсюда Полученное противоречие доказывает, что функция не является периодической. По условию Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем. Общеобразовательная нормативная цель повторить со студентами определение и свойства функции Ввести понятие суперпозиции функций. Графиком функции y f x называется множество всех точек плоскости Oxy для каждой из которых x является значением аргумента, а y соответствующим значением функции.

Если область определения функции y f x не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Понятие функции Функция вычисляет и возвращает результат зависимости от исходных данных аргументов. Обл определения производной f x явл множество всех точек x 0 которых y f x имеет конечную производную. Замечание Если функция дифференцируема 0 то из следует, что у 0, когда 0, функция непрерывна данной точке Обратное утверждение неверно Функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой данной точке. Пусть f x дифференцируема 0, следовательно, существует производная и коэффициент А из совпадает с производной, как следует из доказательства теоремы Тогда формулу можно представить. Это понятие было введено науку французским философом и математиком Рене Декартом 1596 1650 Жизнь Декарта до того, как он начал заниматься науч ными исследованиями, была весьма бурной получив образование иезуитском коллеже, он сначала вел рас сеянную жизнь светского человека Париже, потом стал наемным солдатом войсках голландского полководца Морица Нассауского, принимал участие битвах Три дцатилетней войны, а вернувшись во Францию, участво вал осаде гугенотской крепости ЛаРошели, знакомой читателям по роману Александра Дюма Три мушке тера Но потом он оставил военную службу и погру зился занятия наукой. Поворотным пунктом математике была Декартова переменная величина Благодаря этому математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифферен циальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем.

Другие кривые кинематического происхождения при ходилось рассматривать астрономам Как известно, вели кий астроном древности Птолемей, пытаясь объяснить движение планет по небу, придумал сложную систему мироздания Он считал, что центре Вселенной находит ся Земля а планеты равномерно вращаются по окруж ностям, центры которых, свою очередь, равномерно вращаются вокруг Земли Если начертить эти траекто рии, то появятся возвратные движения и петли, которые и хотел объяснить Птолемей Следует отметить, что при более точном изучении выявились расхождения между теорией Птолемея и наблюдениями, а потому пришлось вводить третьи окружности, а там и четвертые В резуль тате получилось нагромождение окружностей, котором невозможно было разобраться Король Альфонс X, которому попытались объяснить систему Птолемея, ска зал Жаль, что меня не было, когда бог творил мир я посоветовал бы ему сделать мироздание проще Столь непочтительное заявление чуть не стоило ему короны его обвинили богохульстве. Но не только небесные причины заставляли мате матиков изучать различные кривые Со многими кривыми приходилось иметь дело и связи с вполне земными заботами Картографы интересовались формой меридиа нов и параллелей при различном выборе проекции земного шара на плоскость, мореплаватели линией, по которой, корабль пересекает все меридианы под одним и тем же углом, инженеры очертаниями зубчатых колес, кулачковых механизмов и других деталей машин, а также винтовыми кривыми и поверхностями и. У такого эксцентрика есть недостаток изза заост рений точках пересечения спиралей скорость движу щейся точки меняется при изменении направления скач ком, что приводит к ударам и быстрому разрушению машины Поэтому предпочита ют гладкие эксцентрики, очер ченные по так называемой улитке Паскаля Она получа ется, если из точки О, лежащей внутри окружности, опустить перпендикуляры на каждую касательную к окружности и взять кривую, состоящую из оснований этих перпендикуляров рис 6 Если очертить эксцентрик по улитке Паскаля, то скорость будет меняться плавно, причем равномерное вращательное движение эксцентрика преобразуется гармонические колебания стержня относительно таких колебаний см. В науке часто бывает так, что ученые длительное время применяют неявном виде некоторое понятие Однако изза отсутствия названия оно встречается под различными личинами, а одни и те же рассуждения повторяются каждый раз заново И лишь когда оно полу чает имя, все замечают, что уже давно работали с ним Так случилось, например, с терминами предел, отобра жение, а на нашей памяти с такими понятиями, как обратная связь, информация и Введение нового термина приводит к уточнению соответствующего поня тия, освобождению его от всего случайного и несуще ственного, к выяснению общности рассуждений, прово дившихся независимо друг от друга различных обла стях науки. Научный авторитет Римана был очень велик Поэтому после появления его работы возник интерес к функциям со столь необычным поведением Но эти исследования приветствовались далеко не всеми учеными Математики классического направления считали, что наука не должна иметь дело с объектами, столь далекими от реального мира Их мнение об исследованиях функций, подобных функциям Дирихле D x, или функций, нигде не имею щих производной их график имеет излом каждой точке, ярко выразил один из крупнейших математиков того времени Анри Пуанкаре 1854 1912 Он сказал Раньше, когда изобретали новую функцию, то имели виду какуюнибудь практическую цель Теперь их изоб ретают, не извлекая из них никакой пользы, а только для того, чтобы обнаружить недостатки рассуждениях наших отцов Еще резче выразился на эту тему руково дитель французской математики конца XIX века Шарль Эрмит 1822 1901, который написал своему другу гол ландскому математику Стилтьесу 1856 1894, что он с ужасом и отвращением отворачивается от этой раз растающейся язвы функций, не имеющих производной Новую математику, математику разрывных функций, классики называли тератологией функций наукой об уродствах функций. Хотя функциональный анализ кажется очень абст рактной наукой, он находит многочисленные приложения вычислительной математике, физике, экономике, позво ляя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень далеки от геометрии Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный математик Р Курант 1888 1972 писал. Множеством называют любую совокупность объектов, объединённых по определенному признаку Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками Множества принято обозначать большими латинскими буквами A B, X Y, а их элементы соответствующими малыми буквами a. О и 1 Постоянное число a называется пределом переменной величины если для каждого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа можно указать такое значение переменной что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству. О и 3 Говорят, что переменная стремится к бесконечности если для каждого наперёд заданного сколь угодно большого положительного числа N можно указать такое значение начиная с которого все последующие значения переменой будут удовлетворять неравенству. Т о а 4 Пусть и где l 1 l 2 конечные числа, a число или символ Тогда. Т о а Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла, выраженного радианах, равен единице.

Это означает, что если непрерывна точке x a то её предел равен значению этой точке. Определение 1 можно сформулировать иначе других терминах Для этого равенстве 2 21 перенесём значение левую часть равенства, внесём под знак предела и заменим условие x a равносильным условием x a 0 Получим равенство. Разность x a Δ x назовём приращением аргумента x а разность назовём приращением функции y точке. О и 4 1 Если точка разрыва функции и существуют конечные пределы. В общих курсах анализа доказано, что все элементарные функции, получаемые из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций, непрерывны области своего определения Среди них выделяют функции, непрерывные на отрезке a b, так как они обладают дополнительными свойствами, выделяющими их из класса непрерывных функций Ограничимся формулировками этих свойств. Опр Графиком числовой функции y f x называется совокупность точек плоскости вида x, f x. Опр Числовая функция y f x называется монотонно возрастающей убывающей, если большему значению аргумента соответствует большее меньшее значение функции. Опр Числовая функция y f x называется ограниченной сверху на множестве А, если найдется число М такое Опр Числовая функция y f x называется ограниченной снизу на множестве А, если найдется число М такое Опр Числовая функция y f x называется ограниченной на множестве А, если найдется число К такое Числовая функция y f x называется четной если числовая функция называется нечетной если. Пусть задана функция y f x с областью определения D и множеством значений E Если каждому значению соответствует единственное значение, то определена функция x z y с областью определения E и множеством значений D Такая функция z y называется обратной к функции f x и записывается следующем виде Про функции y f x и x z y говорят, что они являются взаимно обратными Чтобы найти функцию x z y, обратную к функции y f x, достаточно решить уравнение f x y относительно. Разделение систем на простые и сложные является фундаментальным современном естествознании.

Простыми считаются системы том смысле, что них входит небольшое число элементов, и поэтому взаимоотношения между ними поддаются математической обработке и подчиняются универсальным законам К простым относятся системы закрытые, устойчивые, без обратной связи, неживые, растительные неразумные и. Помимо простых, существуют сложные системы открытые, неустойчивые, с обратной связью, живые, животные, разумные и, которые состоят из большого числа элементов подсистем и, стало быть, большого количества связей между ними Чем оно больше, тем труднее исследование объекта, выведение закономерностей его функционирования Трудность изучения таких систем объясняется еще и тем обстоятельством, что чем сложнее система, тем больше у нее эмерджентных свойств свойств, которых нет у её частей, и которые являются следствием эффекта целостности системы. В кибернетике понятие информации самом широком смысле слова есть определенная форма взаимодействия между двумя или несколькими объектами любой физической природы Основатель кибернетики Н Винер 1894 1964 говорил об информации так Информация это не материя и не энергия, информация это информация Но основное определение информации, которое он дал своих книгах, следующее информация это обозначение содержания, полученное нами из внешнего мира процессе приспосабливания к нему нас и наших чувств. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией Так, если у f x данная функция, то переменная, рассматриваемая как функция переменной у, φ y, является обратной по отношению к данной функции у f x Например, О для у ax b а 0 является у b a, О для у ех является ln у и Если φ y есть О по отношению к у f x, то и у f x есть О по отношению к φ y Областью определения О является область значений данной функции, а областью значений О область определения данной Графики двух взаимно обратных функций у f x и у φ x где независимое переменное обозначено одной и той же буквой, как, например, у ax b и у b a, у ех и у ln, симметричны по отношению к биссектрисе у первого и третьего координатных углов Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной ср например, функции х2 и у f x принимала различные значения для различных значений аргумента Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только том случае, если данная функция монотонна имеются виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения О по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна. Предел числовой последовательности предел последовательности элементов числового пространства Числовое пространство это метрическое пространство, расстояние котором определяется как модуль разности между элементами Поэтому. Аналогично формулируются определения при x Ґ, а также определения, когда. Декарту удалось уничтожить пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой После того как школе Пифагора открыли существование несоизмеримых отрезков, был на ложен запрет на использование чисел геометрии Вместо этого греческие математики применяли отноше ния отрезков, плоских фигур и пространственных тел, не выражая их числами Действия над числами такой геометрической алгебре заменяли действиями над отно шениями вместо произведения чисел греки говорили о площади прямоугольника, построенного на данных от резках, а произведение трех чисел истолковывали как объем прямоугольного параллелепипеда Разумеется, ни о произведении более чем трех чисел, ни о сложении площадей с объемами этой алгебре не было и ре чи Любопытно, однако, что греческий математик Папп, живший III веке писал не существует ничего, что заключало бы больше, чем три измерения Однако незадолго до нас стали позволять себе выражать ся подобным образом, не указывая, впрочем, при этом чтонибудь скольконибудь вразумительное.

Сам Д Бернулли был убежден, что его решение охватывает самый общий случай, но с ним не согласились ни Эйлер, ни Даламбер Эйлер ошибочно считал, что это решение не может быть общим, так как не верил, что одна и та же функция может выражаться и несколькими формулами как, например, 2, и одной формулой 3 Ведь это противоречило общему мнению математиков того времени, считавших, что два различных выражения не могут задавать одну и ту же функцию Ни Эйлер, ни Д Бернулли не сумели доказать справедливость своей точки зрения Поэтому конце XVIII века математики, давая определение функции, уклонялись от ответа на вопрос, как же она выражается Например, французский математик Лакруа 1765 1843 писал Всякое количе ство, значение которого зависит от одного или многих количеств, называется функцией этих последних, незави симо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому Таким об разом, Лакруа уже не отождествлял понятия функции и ее аналитического выражения. При всем несовершенстве наших знаний о том, как изменяются бесконечно малом силы и состояния мате рии зависимости от места и времени, все же мы можем с уверенностью сказать, что те функции, на которые не распространяются условия Дирихле, природе не встре чаются Тем не менее нужно думать, что случаи, не рассмотренные Дирихле, заслуживают внимания по двум причинам Вопервых, как указывает сам Дирихле за ключение своей работы, этот вопрос стоит теснейшей связи с основными принципами исчисления бесконечно малых и может служить для того, чтобы придать этим принципам большую ясность и определенность С этой точки зрения исследование упомянутых случаев пред ставляет непосредственный интерес. Конспект лекций по дисциплине теория систем и системный анализ санктПетербург 2010 содержание основные понятия теории систем.

 

© Copyright 2017-2018 - articles-study

 
Обращение к пользователям